Um espaço lúdico da matemática e para a matemática mas onde o exercício livre da opinião e crítica é condição primordial. Aberto a ouvir, opinar, criticar e ser criticado...

Truques de matemática

domingo, 21 de dezembro de 2008

Feliz Natal para todos

sábado, 20 de dezembro de 2008

É Natal


Trabalhando com fracções

Jogando com as letras







A B C B - 32

C D A D - ?

D B A B - 30

C A C D - 32

| | | |

32 ? 31 31

Neste quadro 4 x 4 cada letra representa um número diferente. Indicam-se em 3 das filas e 3 das colunas o valor da soma das letras, desconhecendo-se dois totais. Quais são os totais que faltam?

resp: ambos 30

Com adições e subtracções




1 2 3 4 5 6 7 8 9

Introduzindo apenas sinais algébricos de + e - entre alguns dos algarismos de 1 a 9, ou entre todos, mantendo-os pela ordem crescente de 1 até 9, podem obter-se muitos resultados diferentes.
Por exemplo:
1 + 2 + 3 + 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - 9 = 1
123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 100
Quantos resultados entre 1 e 100 conseguiremos obter ?

domingo, 7 de dezembro de 2008

Classificação de triângulos. Desigualdade triangular

A Garagem









Numa garagem existem bicicletas e automóveis num total de 20 veículos. Sabendo que se contaram 66 rodas, qual é o número de automóveis?

O Autocarro


Há 24 passageiros num autocarro, entre homens e mulheres. Se saíssem 3 homens, o número de mulheres seria o dobro dos homens. Quantos homens e quantas mulheres há dentro do autocarro?

Humor matemático



Diferentes abordagens ao cálculo da soma de 2 com 2
O Filósofo pergunta imediatamente: mas afinal qual é o significado de 2+2?
O Engenheiro ao fim de 3 minutos utilizando uma régua de cálculo, chega ao resultado de 3,994.
O Físico após 6 horas de experiências apresenta o valor 4,002, com um erro de + ou – 0,005.
O Contabilista fecha todas as portas e janelas, olha cuidadosamente à sua volta e pergunta: qual é o resultado que pretende obter?
O Matemático depois de uma semana de cálculos, diz: Bem, eu ainda não cheguei a um resultado, mas posso demonstrar que existe pelo menos um.

Leibniz


"Não há homens mais inteligentes do que aqueles que são capazes de inventar jogos. É aí que o seu espírito se manifesta mais livremente. Seria desejável que existisse um curso inteiro de jogos tratados matematicamente."

Leibniz, 1715

terça-feira, 4 de novembro de 2008

QUADRADOS E RECTÂNGULOS

O quadrado da figura, foi dividido num quadrado mais pequeno rodeado por quatro rectângulos geometricamente iguais. O perímetro de cada um dos rectângulos é 14 cm.
Qual é a área do quadrado grande?

As seis donzelas




Seis donzelas vão à feira, seus seis cestos carregando. Cada cesto das donzelas seis galinhas transportam.Cada galinha chocou três ovos. Quantos ovos levam as donzelas para a feira?

sol:108

segunda-feira, 27 de outubro de 2008

Mãos e origamis

Prémio criatividade 2001

Quadrado mágico - 6º ano


Num quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, cada coluna e de cada diagonal é sempre a mesma.
Sabendo que cada linha, cada coluna e cada diagonal deve dar 1,5 torna mágico o quadrado seguinte.

sexta-feira, 3 de outubro de 2008

A beleza dos fractais

segunda-feira, 29 de setembro de 2008

Desafio - 7º/ 8º anos

TRIÂNGULO INVERTIDO

Dez moedas estão dispostas em forma de triângulo equilátero como mostra a figura.






Movendo apenas TRÊS moedas, tenta transformar a figura num triângulo com o vértice C voltado para baixo

Desafio - 5º/ 6º anos

ALBUM DE FOTOGRAFIAS





A Rita tinha uma nota de cinco euros, duas moedas de dois euros, três moedas de um euro, quatro moedas de 50 cêntimos e cinco moedas de 20 cêntimos.
Comprou um álbum de fotografias por quatro euros e sessenta e um cêntimos e um rolo por dois euros e noventa e dois cêntimos.

Sabendo que, a Rita recebeu o menor troco possível, de que forma pagou ela a despesa?

domingo, 28 de setembro de 2008

Aula de Matemática - Tom Jobim / Marino Pinto

Desafios



Desafio retirado do Jornal "Público" de 28 de Setembro de 2008

terça-feira, 16 de setembro de 2008

domingo, 31 de agosto de 2008

segunda-feira, 25 de agosto de 2008

Como calcular uma raíz quadrada

Banda ou fita de Moebius



O que é a fita ou banda de Moebius?

Superfície não-orientável com bordo. Um modelo desta superfície pode ser obtido identificando-se os lados opostos de um retângulo de papel após um giro de 180 graus, isto é, uma semi-torção, que pode ser para a direita ou para a esquerda.

Moebius é o primeiro exemplo de superfície não-orientada e critério de classificação das superfícies orientadas e não-orientadas: uma superfície é não-orientada se, e somente se, possui uma faixa (banda ou fita) de Moebius.

segunda-feira, 21 de julho de 2008

Jogos de estratégia

Alguns jogos clássicos de estratégia

Alquerque
Bagha-Chall
Damas
Go
Mancala
Trilha, também conhecido como Moinho
Xadrez


Jogos modernos de estratégia

Abalone
Amazonas
Fanorona
Five Field Kono
Gomoku
Halma
Hex
Interpol (jogo)
Kensington
L Game
Lines of Action
Ninuki-renju
Pente
Phutball
Quatro em Linha
Renju
Reversi
Supremacia
War
Xadrez Chinês
Xadrez Rex

Aprender Matemática com os jogos de tabuleiro

(VÍDEO - SOCIEDADE PORTUGUESA DE MATEMÁTICA / SPM)

domingo, 4 de maio de 2008

Incrível matemática

Curiosidade matemática

Ainda a tabuada... dos 6, 7, 8 e dos 9

MULTIPLICAR POR 6


MULTIPLICAR POR 7


MULTIPLICAR POR 8


MULTIPLICAR POR 9

A tabuada ...divertida

MULTIPLICAR POR 2


MULTIPLICAR POR 3


MULTIPLICAR POR 4


MULTIPLICAR POR 5

Alguns jogos

•Solitários
•Quadrados mágicos
•Par ou ímpar?
•Jogo do NIM
•Torre de Hanói(4 ou mais discos)
•Lançar dois dados
•Tangrans
•Puzzles

Solitários

• Cada jogada consiste em saltar com uma ficha sobre outra, comendo-a, e caindo na casa vaga seguinte.
• Em cada jogada só se pode saltar uma ficha.
• A ficha que foi comida retira-se do tabuleiro.
• Pode-se saltar para frente, para trás, para a direita e para a esquerda, nunca se pode saltar na diagonal.
• O jogo acaba quando no tabuleiro fica uma única ficha na posição pretendida.

Jogo do NIM
Para dois jogadores:


- De um monte de 10 pedras (ou menos) cada um dos dois, à vez, retira uma ou duas pedras.
- Ganha o que retirar a última.
(o que é interessante é descobrirem a estratégia vencedora.)

Par ou ímpar?
Para dois jogadores:
Ambos os jogador, a um sinal, mostram simultaneamente alguns dedos de uma mão (de 0 a 5). Multiplicam-se os números e, se o produto for par ganha um deles, se for ímpar
ganha o outro.
É antes do início do jogo que têm de escolher par ou ímpar.
(descobrir a estratégia vencedora)

O jogo do Nim


INTRODUÇÃO HISTÓRICA
É um jogo de origem desconhecida, sendo jogado desde a antiguidade.
Foi o primeiro jogo a ser estudado matematicamente. O nome foi dado por
Charles Bouton num artigo de 1902, onde estuda a teoria matemática do
jogo.
Ganhou notoriedade com a aparição no filme “O Último Ano em
Marienbad” de Alain Resnais, em 1961.

REGRAS DO JOGO
É um jogo de raciocínio para dois jogadores, muito versátil pois pode
ser jogado com pilhas de palitos, feijões, moedas, entre outras coisas.
Cada jogador, em cada jogada, escolhe uma pilha e retira dela o
número de peças que desejar (pode retirar desde uma, até todas as peças).
Ganha o jogador que retirar a última peça.

ESTRATÉGIAS DO JOGO
Com uma pilha
É um jogo trivial pois o primeiro jogador retira todas as peças e
ganha numa só jogada.
Com duas pilhas
Há uma estratégia óptima, que é retirar de uma das pilhas o número
de peças necessário para igualar as pilhas e, a partir daí, copiar a jogada do
adversário, de forma a deixar sempre iguais as duas pilhas. A certa altura, o
adversário terá de terminar completamente uma pilha. Nessa altura,
esvazia-se a outra e ganha-se.
Com três ou mais pilhas
A estratégia vencedora é mais difícil e pode ser formalizada
introduzindo a soma NIM, designada por ⊕ e conhecida matematicamente
como soma directa, operada sobre a representação dos números em
expansão binária. Esta operação adiciona, um a um, os dígitos, mas não
procede ao «e vai um…».

PARTE 1 – JOGO DO NIM
Pesquisando em alguns livros de jogos e truques matemáticos e revistas do
gênero, encontramos muitos jogos estratégicos que desenvolvem o raciocínio lógico . A
dificuldade é a de encontrar jogos simples e fáceis de se jogar, que possuam
propriedades matemáticas bem assimiláveis.

Jogo do NIM (versão 1)
Um problema de divisão
Existe um jogo de palitos, tradicionalmente famoso proveniente da China e
chamado JOGO DO NIM.
O jogo, disputado por dois jogadores, é estabelecido da seguinte forma:
1. a quantidade de palitos deve ser um número ímpar;
2. cada jogador retira, por sua vez, uma determinada quantidade de palitos,
sendo que esta quantidade deve ter um limite mínimo e um máximo, previamente
fixados;
3. perde aquele que retirar o último palito.

Estratégia para vencer:
a) Determinada a quantidade de palitos que comporão a fileira e também
determinada a quantidade máxima para que o jogador possa retirar em uma
jogada, temos então um probleminha de divisão e resto.

Como fazer? Para ficar mais claro vamos exemplificar o problema:
Seja 33 a quantidade de palitos na fileira e 4 a quantidade máxima de palitos a
ser retirada:
Some 4 com 1 , isto dará 5, agora, veja o resto da divisão de 33 por 5, que é igual
a 3, ou seja, você tem seis grupos de 5 palitos e mais um grupo de 3, neste grupo
de três, retire um, que será o último palito.
Seu jogo terá o seguinte formato:
|| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| |
Quem iniciar o jogo, basta retirar os dois palitos iniciais, e depois retirar a
quantidade de palitos que faltam para se eliminar o outro grupo (isto é, retira a
quantidade que faltar para 5), assim, eliminará também o último grupo, restando 1
palito para a derrota de seu oponente.

Jogo do NIM (versão 2)
Nesta versão, este jogo consiste em colocarmos sobre uma mesa três fileiras
com quantidades diferentes de palitos. Este jogo é para dois participantes, sendo
assim, perde o que retirar o último palito. É necessário seguir as seguintes regras:
- Cada jogador, em cada jogada, deverá escolher uma fileira para retirar os palitos,
sem restrição de quantidade ( no mínimo um e no máximo toda fileira).
- Os jogadores alternam suas jogadas.
Exemplo:
Fileira 1: | | | | | | | | | (9 palitos)
Fileira 2: | | | | | | (6 palitos)
Fileira 3: | | | | (4 palitos)
Estratégia para vencer o jogo:
- No exemplo citado acima, converteremos as quantidades de palitos em cada fileira
por sua representação em binário:
Fileira 1: 1 0 0 1 (9 em binário)
Fileira 2: 1 1 0 (6 em binário)
Fileira 3: + 1 0 0 (4 em binário)
1 2 1 1
somando-se as colunas teremos um resultado com dígitos entre 0 e três, no caso,
obtivemos “1 2 1 1”.
Chamaremos de combinação segura, aquela que obtiver como resultado das somas
das colunas apenas os dígitos “2” e “0”.
Para vencer o jogo, basta o jogador transformar este resultado (1 2 1 1) numa
combinação segura, retirando palitos.
Observe que, como não se pode adicionar palitos, teremos que retirar palitos da
fileira 1, de modo que tenhamos uma combinação segura.
X X X
1 1 0
1 0 0
2 2 0
logo, na fileira 1 devemos ter “0 1 0”, que representa 2 palitos (verifique que
esta é a única solução possível). Para isso, basta retirarmos 7 palitos da fileira 1.
Após conseguir uma combinação segura, o próximo jogador não poderá
fazer uma nova combinação segura. Não é difícil observar isso, pense que em
binário, para diminuir um número somente podemos mudar de “0” para “1” e viceversa,
logo, pelo menos um “1” se tornaria “0”, e esta coluna, que antes tinha soma
“2” passa a Ter soma “1” que não é um dígito de combinação segura.
Até agora conseguimos observar que se um jogador fizer uma combinação
segura, poderá mantê-la, e por que então ele ganhará o jogo?
Adicionaremos algumas exceções de combinação segura: se a soma der 3,
isto é , linha1: 1 palito, linha 2: 1 palito e linha 3: 1 palito será uma combinação
segura, e a menor combinação segura será a de apenas um palito no total. Também,
como exceção, se a soma das linhas derem 2, não será uma combinação segura.
Vamos analisar a que ocorrerá: seja P uma combinação segura e I uma não
segura, A o jogador que deixa na mesa uma combinação segura e B o outro jogador,
teremos o seguinte:
P -> I -> P -> I ... como os palitos estão diminuindo, poderemos chegar as
seguintes combinações finais que garantirão o desfecho do jogo:
a) Se uma das linhas for eliminada pelo jogador B, como ele não consegue
deixar uma combinação segura, significa que nas linhas restantes existe um
número diferente de palitos, logo, basta o jogador A igualá-los, fazendo
assim, uma nova configuração segura (salvo a única exceção já citada).
b) Se o jogador A eliminar uma fila, significa que temos a configuração final do
item anterior, ou seja, ficamos com 2 filas com a quantidade igual de palitos.
Analisando os casos a) e b), a sequência vai convergir para os seguintes
resultados:
- O jogador A compõe a menor configuração segura do tipo soma = “dois” e “zero” ,
que é deixar dois palitos em cada fileira, nesta condição, o jogador B executará
mais uma jogada e permitirá ao jogador A compor a última e menor combinação
segura que é a de apenas um palito na mesa, e ganhará o jogo.
- O jogador B elimina uma fileira inteira, assim, restando palitos apenas numa fileira,
basta o jogador A deixar somente um palito nesta, e vencerá.
c) Se nenhuma fileira for eliminada, a menor configuração segura do tipo
soma=”0” ou “2”, será: as linhas com 1, 2 e 3 palitos, respectivamente, nesta
situação, o jogador B, se retirar uma linha inteira, recorre no caso a) e
perderá o jogo, se retirar um palito da linha que tem 3, deixará duas linhas
com 2 palitos, levando o jogador A ao procedimento do ítem b) ; finalizando,
se o jogador B retirar ou dois palitos da linha que tem três, ou um palito da
linha que tem dois, permitirá ao jogador A realizar a configuração segura de
soma=”3” (ou seja, um palito em cada linha), e vencerá o jogo em mais uma
jogada.
Conhecendo esta estratégia, basta conhecer os representantes “binários” ,
fazer algumas continhas de cabeça e vencer o jogo .

Bibliografia:
RPM – Revista do Professor de Matemática Vol 6.
Sociedade Brasileira de Matemática
1º semestre de 1985

Campeonato nacional de Jogos Matemáticos - vídeo

sexta-feira, 2 de maio de 2008

Tragédia Matemática

quinta-feira, 10 de abril de 2008

Jogo "Quatro Percursos do Saber"

Pós-Graduação em «Jogos e Complementos de Matemática» - Universidade Lusíada / 2005

Trabalho de:

Adélio Moura

Carla Marina Moreira

Daniel Braga

Maria da Luz Almeida

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Um jogo para ser útil no processo educacional deve promover algo interessante e desafiador para os alunos resolverem, permitindo-lhes que se auto-avaliem quanto aos seus desempenhos, além de permitir a sua participação activa nas diversas etapas que o constituem. A optar por uma actividade lúdica é necessário ter em conta objectivos bem definidos. A actividade pode ser realizada como forma de conhecer o grupo com o qual se trabalha ou como estímulo no desenvolvimento de determinada área ou ainda na promoção de aprendizagens específicas e socialização – o jogo como instrumento de desafio cognitivo. O jogo em grupo enfatiza a cooperação mútua e a reciprocidade, além de estimular cada um dos seus intervenientes a respeitar e a considerar pontos de vista diferentes do seu. O jogo deve ter como objectivo principal estimular a construção de esquemas de raciocínio lógico-matemático tornando a actividade em si, um momento alegre, participativo e enriquecedor.
O jogo Quatro Percursos do Saber surge como uma necessidade em reforçar e avaliar, sempre de uma forma lúdica, aprendizagens contempladas na disciplina de Matemática ao nível do 2º ciclo. Daí o facto de o jogo em si abranger as quatro áreas temáticas consideradas essenciais no desenvolvimento cognitivo do aluno, a este nível.
O jogo Quatro Percursos do Saber é um jogo matemático de carácter lúdico, mas ao mesmo tempo de estratégia e de avaliação de competências cognitivas.

segunda-feira, 18 de fevereiro de 2008

Matemática & Arte (Fractais) - o mundo de Mandelbrot

Fractais na natureza

LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA




Um espaço para a aprendizagem experimental da Matemática

As actividades de investigação em sala de aula tomaram, nos últimos anos, um papel fundamental tendo em conta as profundas alterações nos currículos de Matemática que apontam para a inovação nas finalidades e nos objectivos, conteúdos e metodologias, e na avaliação do ensino-aprendizagem. Na medida em que permite o confronto de ideias entre os alunos, bem como a exploração de tarefas e materiais na sala de aula, a implementação de actividades de exploração constitui uma inovadora perspectiva curricular. Os conceitos matemáticos inerentes ao currículo são mais facilmente e mais eficazmente interiorizados pelos alunos mediante a realização de actividades de investigação na sala de aula, seleccionadas orientadas estrategicamente pelo professor, visto que lhes é dada a oportunidade de por si só explorarem esses mesmos conceitos e chegarem às conclusões “pelo seu próprio pé”. Os conceitos introduzidos e explorados segundo esta abordagem tendem a ser interiorizados de uma forma natural e eficazmente duradoura.

Os saberes são construídos a partir da experiência, da reflexão e da prova; gradualmente, da intuição até à dedução. Privilegia-se a comunicação e a investigação, não ficando apenas por tarefas rotineiras. Em suma, trata-se, também, de adequar a educação escolar à evolução da sociedade. Porém, muitas vezes a gestão de espaços educativos e recursos materiais nas escolas não é a mais adequada. Prevalece ainda o espaço da aula de Matemática, apenas com mesas, cadeiras e o quadro de giz, na forma tradicional, e (nem sempre) um retroprojector. Incompreensivelmente, nos nossos dias, projectam-se e constroem-se escolas que dispõem dos já habituais espaços específicos (gimnodesportivos e salas artísticas, técnicas e laboratoriais), mantendo as salas "normais" para as restantes disciplinas. Estas dispõem de poucos materiais didácticos, geralmente guardados em armários ou arrecadações, longe das salas de aula.


Actualmente, tendo em conta tanto as referidas dificuldades como também a inexistência de espaços próprios para o trabalho interdisciplinar, muitas escolas começam agora a implantar o Laboratório de Matemática, ao abrigo do Plano de Acção para a Matemática (PAM). Este espaço é o ponto de partida para um ou mais espaços específicos para o ensino-aprendizagem da Matemática. Chama-se "laboratório", apenas porque se tornou usual esta designação: por um lado, a componente experimental da Matemática é diferente da das outras ciências; por outro, o referido espaço não se deve reduzir a actividades laboratoriais.

Algumas escolas continuam, ainda, a adquirir materiais já conhecidos e já explorados pelos alunos (em anos anteriores), quer através de projectos próprios quer por equipamento do Ministério. No entanto, verifica-se que alguns dos materiais, mesmo assim, não são utilizados, algumas vezes por desconhecimento de todas as suas potencialidades outras por dificuldades de utilização. Por outro lado, a utilização da tecnologia, embora recomendada em todos os níveis de ensino é, ainda, embrionária. Há, por isso, a necessidade de se encontrar conexões e produzir tarefas para aplicar em situações de aula e fomentar o uso das novas tecnologias e de materiais manipuláveis, num universo de interdisciplinaridade, uniformizando e optimizando os diversos recursos materiais.

Matemática em Jogo

domingo, 17 de fevereiro de 2008

Tangram - quebra cabeça chinês de origem milenar

A tabuada e a calculadora




Um texto de Nuno Crato
(Expresso, Dezembro de 2004)

Num conto magnífico incluído na colecção Nove Amanhãs, Isaac Asimov (1920-1992) imagina uma civilização do futuro que se tinha esquecido da tabuada e dos algoritmos das quatro operações. Apenas as máquinas conseguiam fazer contas. Os humanos tinham de as usar para todos os cálculos, mesmo os mais elementares.

Ninguém se interrogava sobre o que as calculadoras faziam. Mas, a certa altura, aparece um jovem técnico que começa a ficar curioso. Repara em certas regularidades e constrói uma tabuada. Pouco a pouco, percebe o mecanismo das operações e começa a fazer contas.

Afirma com toda a confiança: «Três vezes sete, vinte e um... quatro vezes oito, trinta e dois...». Os amigos duvidam e vão verificar os resultados com a máquina. Dá certo! Dá sempre certo! «Soma agora 23 com 48! Dá 71! E não é que dá mesmo!?»

A história foi escrita em 1958 e parece premonitória. De facto, há hoje muitos jovens estudantes que sacam das máquinas para resolver as operações mais elementares. Habituaram-se a isso quando estavam na escola e já não o sabem fazer de outra maneira. Ora, fazer contas mentalmente é muito útil no dia-a-dia. Serve para comparar preços no supermercado, fazer trocos, medir o tempo, deitar contas à vida.

Mas há ainda mais, conforme ficou claro para os muitos que na semana passada encheram as salas da livraria Almedina. Numa das habituais sessões do livro científico das «Sextas às Sete» dessa livraria, em Lisboa, Alexandre Castro Caldas explicou que o exercício do cálculo mental e a memorização, nomeadamente da tabuada, ajudam a desenvolver regiões do próprio cérebro e capacitam os jovens para outras actividades. Explicou também que há uma janela de oportunidade para essa aprendizagem. Privá-los desse treino em tenra idade é limitá-los no seu desenvolvimento intelectual futuro.

É o que se está a passar com muitos jovens. E a culpa não é deles. Com pretexto na «aprendizagem significativa», atacaram-se os «vícios da memorização», mas errou-se no alvo.

Leia-se o programa de Matemática do 1º Ciclo, aprovado em 1990. Diz-se aí que a «máquina de calcular não pode deixar de ter lugar no 1º Ciclo» (jovens dos seis aos dez anos). Fala-se nos «cálculos obtidos, utilizando algoritmos ou a máquina de calcular» e depois diz-se que «na sala de aula deve haver materiais de apoio e o professor permitirá que cada criança utilize, com liberdade, o que lhe for mais conveniente». Ou seja, diz-se que o professor não pode impedir uma criança de seis a dez anos de usar a calculadora sempre que ela o queira fazer. Ideia semelhante repete-se no «Currículo Nacional do Ensino Básico: Competências Essenciais» (2001), página 60.

Felizmente, a maioria dos professores tem mais bom senso que os teóricos da pedagogia romântica e sabe que permitir que o aluno use a máquina de calcular sempre que o queira é caminho certo para que ele nunca desenvolva o cálculo mental.

Dito tudo isto, é preciso acrescentar que a calculadora devia ser mais usada no Ensino Secundário. Sobretudo, mais bem usada. Nessa altura, começam a aparecer frequentemente contas muito difíceis, impossíveis de resolver manualmente. É preciso conhecer melhor a máquina de calcular para poder enfrentar esses novos desafios. Mas há muitos alunos que chegam à universidade sem saber calcular exponenciais, logaritmos ou tangentes, pois nunca perceberam as correspondentes funções das suas máquinas. É triste, mas por vezes parece que andamos a fazer tudo ao contrário.

Ilusões de óptica

As ilusões de óptica mostram figuras ambíguas, onde a percepção do nosso cérebro muda muito rapidamente, sem que haja qualquer alteração naquilo que é visto pelos nossos olhos.
Na sua forma mais simples, uma percepção ilusória mostra duas ou mais figuras que "encaixam" uma na outra.
Estas imagens foram tornadas famosas por M. C. Escher, embora o exemplo seguinte tenha sido introduzido por Edgar Rubin em 1915, antes de Escher.











O tipo mais divertido de ambiguidade através de desenhos é a ambiguidade dos "desenhos rivais". Neste tipo de ilusão, os diferentes desenhos estão contidos no mesmo espaço, mas dependendo da forma como a nossa mente interpreta as formas e linhas dominantes, assim se verá uma ou outra imagem, num dado momento.
De seguida, mostram-se mais alguns exemplos.
Nesta figura, vê um velho ou um rapaz novo?












E nesta figura, encontra um saxofonista ou um rosto feminino?












Aqui, temos um esquimó ou um índio?

sábado, 16 de fevereiro de 2008

Leituras Matemáticas - Martin Gardner

(Colecção O Prazer da Matemática)







Estes são alguns dos livros de Martin Gardner editados em Português pela Gradiva. Fazem parte de uma interessante colecção intitulada "O Prazer da Matemática", que é integrada por diversos livros de autores portugueses e estrangeiros onde podemos aprender um pouco de matemática de forma divertida e lúdica.
Nestes livros podes encontrar jogos, charadas, enigmas, truques, e muitas outras coisas que te farão sentir o prazer da matemática! São portanto uma óptima opção para os teus tempos livres e para partilhares com os teus amigos! Além dos livros aqui apresentados (entre eles, "Matemática Magia e Mistério", "O Festival Mágico da Matemática" e "Rodas, Vida e Outras Diversões Matemáticas") existe ainda um sexto intitulado "Ah, Apanhei-te!" do mesmo autor.

Martin Gardner - O Jornalista Matemático

Martin Gardner é uma das personalidades com maior destaque na área da matemática "recreativa" e a influência do seu trabalho é inquestionável. É autor de mais de 65 livros e inúmeros artigos que abrangem não só a matemática, mas também outras áreas tão diversas como a ciência, a filosofia, a literatura ou a magia. No entanto, Gardner não tem formação matemática e descreve-se a si próprio como um jornalista que escreve sobretudo acerca de matemática e de ciência e também de alguns outros campos de interesse.
Nasceu nos Estados Unidos da América, a 21 de Outubro de 1914, na cidade de Tulsa, situada no estado de Oklahoma. O seu pai era um geólogo e produtor de petróleo. Em 1936 formou-se em Filosofia na Universidade de Chicago e de seguida começou a trabalhar como repórter no jornal “Tulsa Tribune”.
Ainda antes da Segunda Guerra Mundial, durante a qual trabalhou ao serviço da Marinha, integrou o Departamento de Relações de Imprensa da Universidade de Chicago. No final da Guerra, regressou a Chicago onde iniciou a sua carreira como escritor freelancer, escrevendo pequenas histórias para a revista "Esquire".

De seguida, mudou-se para Nova Iorque onde colaborou durante oito anos na edição da revista "Humpty Dumpty’s". Em 1956 iniciou a edição mensal da coluna “Mathematical Games” na conceituada revista "Scientific American". A partir daí tornou-se mundialmente reconhecido e respeitado e passou inclusivamente a corresponder-se frequentemente com vários matemáticos.
Martin Gardner apresenta uma extraordinária capacidade para transmitir a essência de conceitos matemáticos sofisticados a uma vasta audiência e não apenas ao público com formação matemática.
Os conteúdos abrangidos nos seus livros e artigos ultrapassam os domínios tradicionais da matemática. Gardner interessou-se, por exemplo, pelo estudo de vários enigmas e jogos matemáticos e também pela magia, em particular pelos truques baseados na matemática, e chegou a desmascarar alguns charlatães que afirmavam possuir capacidades sobrenaturais.
A influência de Martin Gardner é tão grande que parte dos seus leitores e "fans" já organizaram várias conferências para trocarem impressões acerca da sua obra e existe também um asteróide que, em sua honra, foi designado por Gardner.
Actualmente vive na cidade de Norman, no estado de Oklahoma.

Queres ser um adivinho?...

Pede a alguém conhecido para escolher de dentro de uma caixa de dominó uma peça qualquer. Dá-lhe as seguintes instruções (para perceberes melhor segue o nosso exemplo):


Multiplica o maior número por 5. [5 x 5 = 25]
Adiciona 8. [25 + 8 = 33]
Multiplica por 2. [33 x 2 = 66]
Adiciona o número menor da peça de dominó. [66 + 2 = 68]
Depois do teu amigo ter feito todas as contas, pergunta-lhe o resultado final a que chegou. ( No caso do nosso exemplo ele diria 68 ).
Subtrai 16 a esse valor. [68 -16 = 52]
Finalmente diz-lhe que os números da peça de dominó que ele escolheu são o 5 e o 2.

Desafios matemáticos

Desafio 2

Desafios matemáticos

Desafio 1

domingo, 10 de fevereiro de 2008