A Herança do Califa

Para dar um colorido mais oriental à nossa página de matematiquices deixamos-te um problema vindo de Bagdad. ANTIGO! Na época em que um ataque à bomba não era mais do que uma brilhante ideia de um pacato matemático.

O califa de Bagdad tinha quatro filhos de quem muito gostava.
Para cada um deles mandou construir um palácio. O do filho mais velho, Abdul, ficou no terreno 1, o de Budal, no terreno 2, o de Cadaf, no 3 e o de Dubal, no 4( ver no mapa).


Antes de morrer, fez o testamento com indicações de como deviam ser distribuídas as suas ricas terras. Cada filho ficaria com o terreno onde tinha o seu palácio.
Evidentemente, Abdul herdaria também o terreno 9, onde ficava situado o palácio do califa. Os restantes terrenos seriam distribuídos de modo que, no final, cada um ficasse com 5. Mas impôs uma condição a cada um dos filhos: os seus cinco terrenos não poderiam ter fronteiras comuns. Por exemplo, Cadaf não podia ficar com o terreno 19.
Como é que os irmãos dividiram as terras entre si?

Mais números curiosos

NÚMEROS GÉMEOS são os números primos cuja diferença entre eles é 2.

Por exemplo, 5 e 7 são primos gémeos pois são ambos primos e 7 - 5 = 2.



PRIMOS DE MERSENNE são os números primos que se podem expressar como N = 2^n -1, sendo n qualquer número e N um primo de Mersenne.

Escolha-se um número natural maior do que 1 e calcule-se a soma dos quadrados dos seus algarismos. Pegue-se no número encontrado e repita-se a operação, calculando a soma dos quadrados dos seus algarismos. Repetindo este processo sucessivamente, quando a seqüência calculada termina em 1, dizemos que o número submetido ao processo é um NÚMERO FELIZ.

caso contrário, ele designa-se por NÚMERO INFELIZ.

Por exemplo, pode-se verificar que o número 4.599 é feliz fazendo as seguintes contas: 4²+5²+9²+9²=203; 2²+0²+3²=13; 1²+3²=10; 1²+0²=1.

Números primos. O que são?

NÚMERO PRIMO é todo aquele que admite apenas dois divisores: o um e ele próprio.

O único número primo par é o 2.

O conjunto dos números primos é infinito.

Quando um número não é primo diz-se COMPOSTO.

O 1 não é número primo nem número composto.

Será 17 um número primo?
Ora. os divisores de 17 são apenas o 1 e o 17, logo ele é primo.

E relativamente ao 26 que podemos afirmar?
Os divisores de 26 são, além de 1 e 26, o 2 e o 13, daí não ser primo( também poderíamos dizer que , como 26 é par não é primo, uma vez que o único número par primo é o 2).















EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Considera o número de entrada deste prédio.

Será o número marcado na entrada do prédio um número primo?
Verifique...

Problema - a piscina

Uma piscina rectangular ocupa 2/15 de uma área de lazer de 300 m2. A parte restante da área de lazer equivale a quantos metros quadrados?

Jogos matemáticos- adição algébrica de números inteiros

Courtesy Cornwall Tube

Operações com números racionais

Números curiosos

CAPÍCUAS - números cuja disposição dos algarismos é simétrica, isto é, a sua leitura da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda é igual.

capícuas até 150--> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 22 33 44 55 66 77 88 99 111 121 131 141 ...




NÚMEROS DE KAPREKAR - números tal que, elevados ao quadrado,a soma das metades do número daí resultante vai coincidir com o número inicial.

45^2 = 2025 --> 20 + 25 = 45
mais alguns números de Krapekar: 1 297 703 2223 ...

NÚMEROS DIGITALIZADOS - números inteiros com algarismos que seguem as regras bastante precisas, usando para tal as operações aritméticas elementares e, ainda, as potências, a raíz quadrada, o factorial, a mudança de base, etc...

grande variedade destes números: os autodigitais, os antidigitais, os centigitais

NÚMERO CENTIGITAL - quando se exprime com a ajuda de números cuja soma dá 100

exemplos:
4 = 80:20
98 = 96 + raíz quadrada de 4
2 = 51 - 49
4 = 52 - 48
3 = 75:25 ou 3 = raíz quadrada de (90:10)




Dois números inteiros são AMIGOS quando cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro (os divisores do número à excepção do próprio número).

Por exemplo, 220 e 284 são números amigos.
Os divisores próprios de 220 são: 1, 2, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 248:

1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 248

Os divisores próprios de 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142, cuja soma é 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Estes dois números, 220 e 284, é o par de números amigos, com números mais pequenos que se conhece.

A descoberta dos números amigos, em particular de 220 e 280, é atribuída à escola Pitagórica (séc. V a.C.), pelo filosofo Iamblichus de Chalcis (c. 250-330). Para os Pitagóricos os números amigos simbolizavam a harmonia mútua, a amizade perfeita e o amor.
Alguns consideram a referência bíblica ao número 220 (um presente de 220 cabras de Jacob a Esau, Genesis 23:14) como indicadora de um conhecimento dos números amigos.
Os números amigos aparecem várias vezes na literatura árabe, para estes têm, igualmente, um papel na magia e na astrologia, na construção de horóscopos, na bruxaria, na preparação de poções mágicas e na construção de talismãs.
Na história do árabe Ibn Khaldun (1332-1406) lê-se, o seguinte, sobre o números amigos:

"...a prática da arte dos talismãs também nos fez reconhecer a virtudes maravilhosas dos números amigos. Estes números são 220 e 284. Chamamos-lhes amigáveis porque a parte alíquota de um deles quando adicionada dá uma soma igual ao outro. As pessoas que se ocupam, dos talismãs afirmam que estes números têm uma influência particular no estabelecimento da união e da amizade entre duas pessoas. ... em cada um deve-se inscrever um dos números indicados, mas atribuindo o mais forte à pessoa cuja amizade se quer ganhar, a pessoa amada. Eu não sei se pelo mais forte se quer designar o maior, ou o que tem um maior número de partes alíquotas."

NÚMERO PERFEITO é um número natural cuja soma dos seus divisores próprios é igual a si mesmo.

O primeiro número perfeito é o 6, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2 e 3, a soma destes é 6 (6 = 1 + 2 + 3).

Os cinco primeiros números perfeitos são: 6, 28, 496, 8128 e 33 550 336.

Chama-se NÚMERO ABUNDANTE a um número natural em que a soma dos seus divisores próprios é superior a ele mesmo.

O primeiro número abundante é o 12, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2, 3, 4 e 6, a soma destes é 16 (1 + 2 + 3 + 4 + 6 > 12).



Chama-se NÚMERO DEFICIENTE a um número natural em que a soma dos seus divisores próprios é inferior a ele próprio.

O número 10 é um número deficiente, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2 e 5 a soma destes é 8 (1 + 2 + 5 < 10).






Nota 1:

Todos os números primos são deficientes, assim como a maioria dos números compostos.


Nota 2:

A maioria dos números é deficiente. Em particular, todos os primos e potências de primos são deficientes.


Nota 3:

Todos os múltiplos de um número perfeito ou abundante são abundantes.


Nota 4:

Todos os divisores de um número perfeito ou deficiente são deficientes.


Nota 5:

A soma dos divisores das potências de 2 (exceptuando, claro, a própria potência) é igual a 2n-1, ou seja, difere do próprio número uma unidade, pelo que são chamados números quase perfeitos.


Nota 6:

Existe uma relação entre os números perfeitos e os números de Mersenne porque, se 2p-1 é um número primo então 2p-1 (2p-1) é um número perfeito.


Nota 7:

Até ao momento, ainda não se descobriu nenhum número perfeito ímpar, mas ainda não está provado que não existam.