Conjunto de jogos matemáticos (Oficina Lúdica da Matemática)

Para um Laboratório ou Oficina Lúdica da Matemática: Torres de Hanói, pirâmides de bolas, hex, mancala, ouri, solitário, ferraduras, pentaminós em 3D, trapezoedros, icosaedro de ouro, 5 eles, cubo de cubos, salto de cavalo, cruz bicolor....

Torre de Hanói

A Torre de Hanói é um quebra-cabeças que consiste numa base contendo três pinos, num dos quais se encontram alguns discos, uns sobre os outros, por ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo. O objectivo será o de passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como auxiliar, de modo que um disco maior nunca fique por cima de outro menor em qualquer situação. O número de discos pode variar sendo o mais simples aquele que contém apenas três discos.

Pontos e Quadrados (Dots and Boxes)

Material
Papel ponteado formando uma superfície quadrada.
Dois lápis de cor diferente, um para cada jogador.



Objectivo
O objectivo deste jogo consiste em cada jogador formar o maior número de quadrados possíveis no ponteado.





Regras
Alternadamente, cada jogador une dois pontos vizinhos com um segmento horizontal ou vertical.
Quando um jogador completa um quadrado, escreve a sua inicial no interior desse quadrado e joga outra vez.
O jogador não é obrigado a fechar um quadrado.
O jogador que fecha um quadrado continua a jogar.

Jogos com números

JOGO DAS SOMAS
Colocam-se os números de 1 a 9 de modo que cada número da fila superior seja a soma dos números da fila debaixo daquela em que se apoia.









NÚMEROS SALTEADOS
Colocam-se oito fichas numeradas de 1 a 8 no tabuleiro de modo a que não fiquem números seguidos:
- na horizontal
- na vertical
- na diagonal
quer por ordem crescente quer por ordem decrescente.

Um problema de números

NÚMEROS






Equipa A --> 19 pontos
Equipa B --> ?
Equipa C --> ?
Equipa D --> ?
Equipa E --> ?

Determine a pontuação alcançada por cada uma das quatro restantes equipas , sendo sugeridas as seguintes pistas:
- a soma das 5 pontuações é de 83 pontos;
- nenhuma equipa chegou aos 20 pontos:
- as equipas C e D têm igual pontuação;
- todas elas fizeram acima de 12 pontos;
- a diferença entre a mais pontuada e a que ficou em último lugar é de 5 pontos;
- apenas duas das pontuações são pares.
(Para ajudar a resolução já está assinalada a pontuação da Equipa A)

Origamis

ORIGAMI (do japonês: 折り紙, de oru, "dobrar", e kami, "papel") é a arte tradicional japonesa de dobrar o papel, criando representações de determinados seres ou objetos com as dobras geométricas de uma peça de papel, sem cortá-la ou colá-la.

O origami usa apenas um pequeno número de dobras diferentes, que no entanto podem ser combinadas de diversas maneiras, para formar desenhos complexos.







UM POUCO DE HISTÓRIA
Conforme se foram desenvolvendo métodos mais simples de criar papel, o papel foi-se tornando menos caro, e o origami, cada vez mais uma arte popular. Ainda assim as pessoas menos abastadas esforçavam-se em não desperdiçar: guardavam sempre todas as pequenas réstias de papel, e usavam-nas nos seus modelos de origami.

Durante séculos não existiram instruções para criar os modelos origami, pois eram transmitidas verbalmente de geração em geração. Esta forma de arte viria a tornar-se parte da herança cultural dos japoneses. Em 1797 foi publicado um livro (Hiden Senbazuru Orikata) contendo o primeiro conjunto de instruções origami para dobrar um pássaro sagrado do India. O origami tornou-se uma forma de arte muito popular, conforme indica uma impressão em madeira de 1819 intitulada "Um mágico transforma folhas em pássaros", que mostra pássaros a serem criados a partir de folhas de papel.

Em 1845 foi publicado outro livro (Kan no mado) que incluía uma colecção de aproximadamente 150 modelos origami. Este livro introduzia o modelo do sapo, muito conhecido nos dias de hoje. Com esta publicação, o origami espalha-se como actividade recreativa no Japão.

Não seriam apenas os Japoneses a dobrar o papel, mas também os Mouros, no Norte de África, que trouxeram a dobragem do papel para Espanha na sequência da invasão árabe no século VIII. Os mouros usavam a dobragem de papel para criar figuras geométricas, uma vez que a religião os proibia de criar formas animais. De Espanha espalhar-se-ia para a América do Sul. Com as rotas comerciais terrestres, o origami entra na Europa e, mais tarde, nos Estados Unidos.
(fonte: Wikipédia)

Animação sobre origamis

A Herança do Califa

Para dar um colorido mais oriental à nossa página de matematiquices deixamos-te um problema vindo de Bagdad. ANTIGO! Na época em que um ataque à bomba não era mais do que uma brilhante ideia de um pacato matemático.

O califa de Bagdad tinha quatro filhos de quem muito gostava.
Para cada um deles mandou construir um palácio. O do filho mais velho, Abdul, ficou no terreno 1, o de Budal, no terreno 2, o de Cadaf, no 3 e o de Dubal, no 4( ver no mapa).


Antes de morrer, fez o testamento com indicações de como deviam ser distribuídas as suas ricas terras. Cada filho ficaria com o terreno onde tinha o seu palácio.
Evidentemente, Abdul herdaria também o terreno 9, onde ficava situado o palácio do califa. Os restantes terrenos seriam distribuídos de modo que, no final, cada um ficasse com 5. Mas impôs uma condição a cada um dos filhos: os seus cinco terrenos não poderiam ter fronteiras comuns. Por exemplo, Cadaf não podia ficar com o terreno 19.
Como é que os irmãos dividiram as terras entre si?

Mais números curiosos

NÚMEROS GÉMEOS são os números primos cuja diferença entre eles é 2.

Por exemplo, 5 e 7 são primos gémeos pois são ambos primos e 7 - 5 = 2.



PRIMOS DE MERSENNE são os números primos que se podem expressar como N = 2^n -1, sendo n qualquer número e N um primo de Mersenne.

Escolha-se um número natural maior do que 1 e calcule-se a soma dos quadrados dos seus algarismos. Pegue-se no número encontrado e repita-se a operação, calculando a soma dos quadrados dos seus algarismos. Repetindo este processo sucessivamente, quando a seqüência calculada termina em 1, dizemos que o número submetido ao processo é um NÚMERO FELIZ.

caso contrário, ele designa-se por NÚMERO INFELIZ.

Por exemplo, pode-se verificar que o número 4.599 é feliz fazendo as seguintes contas: 4²+5²+9²+9²=203; 2²+0²+3²=13; 1²+3²=10; 1²+0²=1.

Números primos. O que são?

NÚMERO PRIMO é todo aquele que admite apenas dois divisores: o um e ele próprio.

O único número primo par é o 2.

O conjunto dos números primos é infinito.

Quando um número não é primo diz-se COMPOSTO.

O 1 não é número primo nem número composto.

Será 17 um número primo?
Ora. os divisores de 17 são apenas o 1 e o 17, logo ele é primo.

E relativamente ao 26 que podemos afirmar?
Os divisores de 26 são, além de 1 e 26, o 2 e o 13, daí não ser primo( também poderíamos dizer que , como 26 é par não é primo, uma vez que o único número par primo é o 2).















EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Considera o número de entrada deste prédio.

Será o número marcado na entrada do prédio um número primo?
Verifique...

Problema - a piscina

Uma piscina rectangular ocupa 2/15 de uma área de lazer de 300 m2. A parte restante da área de lazer equivale a quantos metros quadrados?

Jogos matemáticos- adição algébrica de números inteiros

Courtesy Cornwall Tube

Operações com números racionais

Números curiosos

CAPÍCUAS - números cuja disposição dos algarismos é simétrica, isto é, a sua leitura da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda é igual.

capícuas até 150--> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 22 33 44 55 66 77 88 99 111 121 131 141 ...




NÚMEROS DE KAPREKAR - números tal que, elevados ao quadrado,a soma das metades do número daí resultante vai coincidir com o número inicial.

45^2 = 2025 --> 20 + 25 = 45
mais alguns números de Krapekar: 1 297 703 2223 ...

NÚMEROS DIGITALIZADOS - números inteiros com algarismos que seguem as regras bastante precisas, usando para tal as operações aritméticas elementares e, ainda, as potências, a raíz quadrada, o factorial, a mudança de base, etc...

grande variedade destes números: os autodigitais, os antidigitais, os centigitais

NÚMERO CENTIGITAL - quando se exprime com a ajuda de números cuja soma dá 100

exemplos:
4 = 80:20
98 = 96 + raíz quadrada de 4
2 = 51 - 49
4 = 52 - 48
3 = 75:25 ou 3 = raíz quadrada de (90:10)




Dois números inteiros são AMIGOS quando cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro (os divisores do número à excepção do próprio número).

Por exemplo, 220 e 284 são números amigos.
Os divisores próprios de 220 são: 1, 2, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 248:

1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 248

Os divisores próprios de 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142, cuja soma é 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Estes dois números, 220 e 284, é o par de números amigos, com números mais pequenos que se conhece.

A descoberta dos números amigos, em particular de 220 e 280, é atribuída à escola Pitagórica (séc. V a.C.), pelo filosofo Iamblichus de Chalcis (c. 250-330). Para os Pitagóricos os números amigos simbolizavam a harmonia mútua, a amizade perfeita e o amor.
Alguns consideram a referência bíblica ao número 220 (um presente de 220 cabras de Jacob a Esau, Genesis 23:14) como indicadora de um conhecimento dos números amigos.
Os números amigos aparecem várias vezes na literatura árabe, para estes têm, igualmente, um papel na magia e na astrologia, na construção de horóscopos, na bruxaria, na preparação de poções mágicas e na construção de talismãs.
Na história do árabe Ibn Khaldun (1332-1406) lê-se, o seguinte, sobre o números amigos:

"...a prática da arte dos talismãs também nos fez reconhecer a virtudes maravilhosas dos números amigos. Estes números são 220 e 284. Chamamos-lhes amigáveis porque a parte alíquota de um deles quando adicionada dá uma soma igual ao outro. As pessoas que se ocupam, dos talismãs afirmam que estes números têm uma influência particular no estabelecimento da união e da amizade entre duas pessoas. ... em cada um deve-se inscrever um dos números indicados, mas atribuindo o mais forte à pessoa cuja amizade se quer ganhar, a pessoa amada. Eu não sei se pelo mais forte se quer designar o maior, ou o que tem um maior número de partes alíquotas."

NÚMERO PERFEITO é um número natural cuja soma dos seus divisores próprios é igual a si mesmo.

O primeiro número perfeito é o 6, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2 e 3, a soma destes é 6 (6 = 1 + 2 + 3).

Os cinco primeiros números perfeitos são: 6, 28, 496, 8128 e 33 550 336.

Chama-se NÚMERO ABUNDANTE a um número natural em que a soma dos seus divisores próprios é superior a ele mesmo.

O primeiro número abundante é o 12, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2, 3, 4 e 6, a soma destes é 16 (1 + 2 + 3 + 4 + 6 > 12).



Chama-se NÚMERO DEFICIENTE a um número natural em que a soma dos seus divisores próprios é inferior a ele próprio.

O número 10 é um número deficiente, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2 e 5 a soma destes é 8 (1 + 2 + 5 < 10).






Nota 1:

Todos os números primos são deficientes, assim como a maioria dos números compostos.


Nota 2:

A maioria dos números é deficiente. Em particular, todos os primos e potências de primos são deficientes.


Nota 3:

Todos os múltiplos de um número perfeito ou abundante são abundantes.


Nota 4:

Todos os divisores de um número perfeito ou deficiente são deficientes.


Nota 5:

A soma dos divisores das potências de 2 (exceptuando, claro, a própria potência) é igual a 2n-1, ou seja, difere do próprio número uma unidade, pelo que são chamados números quase perfeitos.


Nota 6:

Existe uma relação entre os números perfeitos e os números de Mersenne porque, se 2p-1 é um número primo então 2p-1 (2p-1) é um número perfeito.


Nota 7:

Até ao momento, ainda não se descobriu nenhum número perfeito ímpar, mas ainda não está provado que não existam.