Tangram

O Tangram desenvolve o raciocínio lógico e geométrico, principalmente no que se refere às relações espaciais.Com as peças do Tangram pode-se, de entre outras hipóteses, explorar:


- a identificação, comparação, descrição, classificação e representação de figuras geométricas planas;

- as transformações geométricas, através... de composição e decomposição de figuras planas;

- a equivalência de áreas;

- a aplicação do Teorema de Pitágoras.

Para além disso, com as sete peças do quebra-cabeças é possível montar cerca de 1700 figuras ( animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números, etc...) tornando-o um material pedagógico bastante atractivo, por exemplo, ao nível do ensino básico.

http://www.fwend.com/tangram.htm

O Magusto na Escola da Anita

A Anita participou no magusto da sua escola que começou às 19 horas, com muitas outras crianças.
Após o magusto ter começado, chegaram 9 crianças.
Às 20 horas, 23 crianças foram para casa.
Às 20 horas e 30 minutos, 8 crianças despediram-se pois  foram embora com os pais.
No fim do magusto estavam lá 21 crianças.
Quantas crianças estavam no magusto quando este começou?

O Relógio

Divide o relógio em três partes, com duas linhas rectas.

A soma dos números de cada uma das partes tem que ser a mesma.
Onde deves colocar as linhas?

Qual a soma?

Descobre o valor da soma da primeira coluna, sabendo que cada valor nas extremidades diz respeito à soma da coluna ou linha correspondente.
(Adaptado de "Dia-a-Dia com a Matemática", 2005/2006, APM)

A corrida para o almoço

Cinco amigos saíram da sala de aula, a correr, para irem almoçar ao refeitório da escola
· O João chegou depois do Rui.
· O Carlos e o Aníbal chegaram ao mesmo tempo.
· O Daniel chegou antes do Rui.
· O primeiro dos amigos chegou sozinho.

Quem chegou primeiro ao refeitório?

Desafio - O caracol subindo o muro

Um caracol sobe um muro de 20 metros. Por cada dia que passa sobe 3 metros mas de noite  deixa-se escorregar 1 metro. Ao fim de quanto tempo chega o caracol ao cimo do muro?

Os jogos lúdicos matemáticos no Ensino Básico.

Um bom exemplo. A aprendizagem facilitada através dos jogos.

Soma de Números

A Herança do Xeque

Um Xeque das Arábias tinha onze camelos e queria reparti-los pelos seus três filhos da seguinte forma:ao primogénito (o mais velho) caber-lhe-ia metade dos camelos, ao filho do meio a quarta parte dos camelos e ao mais novo a sexta parte dos mesmos. Como o Xeque só tinha onze camelos , essa repartição tornou-se numa tarefa quase impossível.Estavam todos a discutir a melhor solução quando um forasteiro que, por acaso, ali passava com o seu camelo, lhes propôs a seguinte solução " peguem o meu camelo e juntem-no aos vossos para fazer a divisão e não vos preocupeis que eu nada perderei com o negócio". Todos eles aceitaram, atónitos, a proposta e fizeram a repartição...
Será que o forasteiro tinha razão?

(Baseado na obra de Malba Tahan - O Homem Que Sabia Contar)

A roda numérica

Coloca os números de 1 a 9 nos quadradinhos da roda, de forma a que todas as linhas de três números somem 15.

Sete números no Y grego

Coloca os números de 1 a 7 nos quadradinhos seguintes de modo a que dois números consecutivos não estejam juntos nem na vertical, nem na horizontal, nem diagonalmente.

A serpente

Coloca sobre os círculos da serpente os números de 1 a 9 de modo a que cada linha e cada coluna de três números dê soma 13.

Tangram

Ao som dos Kraftwerk...

Desafio curioso

Dois pais e dois filhos entraram numa pastelaria e pediram três refrigerantes em lata. Cada um deles bebeu a sua lata inteirinha,deixando a respectiva lata vazia. Como foi isso possível?

Números cruzados (sudoku)

O nome do passatempo é intrigante. É Sudoku ou Su Doku, como se preferir. É japonês, com certeza - «su» vem de número, ou contagem, e «doku» de solteiro ou único. É um jogo em que é necessário colocar números numa posição vaga. E há uma única solução certa.

Mas, ao contrário do que se possa pensar, Sudoku não é um jogo nipónico. Apareceu na década de 1970 no magazine nova-iorquino Math Puzzles and Logic Problems. Chamava-se na altura «Number Place». Foi posteriormente publicado num jornal japonês com um nome longo, depois abreviado para Su Doku. Tornou-se muito popular no império do Sol Nascente. Em 1997, um juiz reformado neozelandês chamado Wayne Gould entusiasmou-se com o jogo e começou a escrever um programa de computador para o estudar. Demorou seis anos a concluir esse programa, mas passou a poder gerar problemas em velocidade recorde. Gould convenceu o The Times londrino a usar o produto do seu trabalho e a febre chegou à Europa.

Em 12 de Novembro de 2004, o vetusto Times deu o sinal de partida começando a publicar problemas nas suas páginas. Poucos dias depois, The Daily Mail contratou outro fornecedor e começou também a publicar essas charadas. Foram logo seguidos por The Sun, Daily Telegraph, The Observer, The Guardian... de tal forma que praticamente toda a imprensa inglesa traz hoje problemas Sudoku nas suas páginas. Em Portugal há dois diários que lhes seguiram as pisadas, Público e Jornal de Notícias. E na vizinha Espanha, o magazine de fim-de-semana do «El Mundo» acaba de ser contagiado pela febre. Em Inglaterra, um livro publicado pelo Times está há 12 semanas na lista dos mais vendidos. E na Amazon norte-americana anunciam-se para breve quatro novos livros. Em Inglaterra, o jogo pode já ser descarregado nos telemóveis. Vendem-se versões diversas de programas na Internet, muitas vezes com período de teste grátis (por exemplo, www.sudoku.com). Da Nova Zelândia à Sérvia, passando por Israel e pela África do Sul, há diariamente milhões de pessoas a preencher os quadradinhos.

A tentação do século XXI

Sudoku é um jogo matemático, também dito abstracto, típico do início do século XXI. Tem números e não palavras, e pode pois circular rapidamente em todo o mundo. Pode-se jogar na Internet em vários locais (sudoku.com.au) e até competir em tempo real com concorrentes de todo o mundo (www.sudokufun.com). A dificuldade é variável. Os casos mais fáceis podem ser resolvidos em poucos minutos por qualquer pessoa. Os mais complexos podem levar meia hora a um jogador já treinado. Mas raramente os problemas podem ser tão difíceis que forcem alguém interessado a desistir.

O Sudoku é uma tabela de nove por nove, com 81 casas, portanto, que deve ser totalmente preenchida com nove algarismos diferentes, de 1 a 9 (poder-se-iam usar cores ou outros símbolos). Mas os algarismos não se podem repetir nem em linha nem em coluna. Tecnicamente, diz-se que se trata de uma tabela latina ou de um quadrado latino.

A história desta entidade matemática é tão antiga como apaixonante. Ao que parece, as tabelas latinas foram pela primeira vez concebidas pelo genial matemático suíço Leonard Euler (1707-83) no contexto de problemas de afectação de recursos. Euler (pronunciado óiler) imaginava seis patentes de oficial e seis tipos de regimentos. Procurava enquadrar 36 oficiais nos regimentos, de forma que cada um deles tivesse seis oficiais, mas um de cada patente. Como habitualmente se passa com problemas matemáticos, Euler formulou diversas conjecturas sobre estes quadrados mágicos. Uma delas, sobre os chamados quadrados ortogonais prolongou-se até à actualidade, só tendo sido resolvida cabalmente em 1960.

Onde está a arte?

As tabelas latinas têm sido utilizadas para planear experiências. Ronald A. Fisher (1890-1962), habitualmente considerado o pai da Estatística moderna, divulgou-as como maneira de fazer com que todos os factores apareçam, cobrindo as diversas combinações possíveis, de forma a reduzir as hipóteses de enviesamento.

A tabela latina do Sudoku apresenta-se parcialmente preenchida - o jogador é desafiado a preenchê-la gerando uma tabela latina completa. Ainda antes da criação do Sudoku, já este problema tinha sido muito estudado. Os investigadores de ciências da computação mostraram tratar-se de um problema difícil, de uma classe dita «NP-completa». Curiosamente, a dificuldade de cada problema deste tipo depende de forma decisiva do número de casas já preenchidas. Como é fácil de entender, se poucas casas estiverem à partida preenchidas, o problema será fácil pois há muitas soluções possíveis. Inversamente, se muitas casas estiverem preenchidas, as hipóteses são poucas e o problema é igualmente fácil. As maiores dificuldades surgem na zona intermédia, a que se veio a chamar «transição de fase». Nas tabelas latinas simples, a transição de fase processa-se perto do número mágico de 42%. No Sudoku não é exactamente assim, pois há restrições adicionais e os problemas apenas têm uma solução.

A grande novidade do Sudoku é a existência de «regiões» dentro de cada tabela. O quadrado maior, de 81 casas, está dividido em nove quadrados menores, de nove casas cada uma. Parece que o problema se complica, mas isso não é verdade. Torna-se mais simples e também mais interessante. Toda a arte está em começar pelas casas onde há menos hipóteses. Não é difícil. Por que não o tenta?

Texto de Nuno Crato
(Jornal Expresso -18/06/2005)

Problema - rebuçados a distribuir

Eu resolvi distribuir os rebuçados que havia num pote, por mim e por mais dois amigos. Ao Carlos (um dos amigos)coube-lhe 1/3 do número total de rebuçados que estavam no pote,ao Luís (o outro amigo)coube-lhe 1/3 dos rebuçados restantes a para mim ficou 1/3 do que sobrou depois da distribuição feita. Ainda restaram no pote 8 rebuçados.
Quantos rebuçados havia inicialmente dentro do pote?

Problema - Descontos para clientes

O CORTE INGLÊS, para fidelizar clientes, oferece, durante o verão,um desconto de 10% com pagamento a pronto,15% para clientes antigos e 20% em dias de liquidação. Para economizar ao máximo por que ordem deveria eu utilizar os descontos?

Problema - os namorados da turma

Numa turma do 9º ano estão 24 alunos: 2/3 são raparigas e 1/8 das raparigas namora com os rapazes da turma (cada uma namora com um rapaz diferente). Quantos rapazes não namoram com as raparigas da turma?

Mudança de sentido

Conseguir fazer com que o peixe nade na direcção contrária, deslocando apenas três pauzinhos e mudando a posição do olho.

in Jornal Público 01/07/2010

Círculo Mágico

Coloque os números abaixo indicados nos espaços vazios de modo a que o resultado da soma dos três números ligados por uma linha seja igual a 45.
12, 27, 6, 3, 18, 21, 24, 15





in Jornal Público (Passatempos) 01/07/2010

Um losango mágico

Descubra os números a serem colocados nos círculos, de modo que o total, ao longo de cada linha do losango, seja o mesmo.

Conjunto de jogos matemáticos (Oficina Lúdica da Matemática)

Para um Laboratório ou Oficina Lúdica da Matemática: Torres de Hanói, pirâmides de bolas, hex, mancala, ouri, solitário, ferraduras, pentaminós em 3D, trapezoedros, icosaedro de ouro, 5 eles, cubo de cubos, salto de cavalo, cruz bicolor....

Torre de Hanói

A Torre de Hanói é um quebra-cabeças que consiste numa base contendo três pinos, num dos quais se encontram alguns discos, uns sobre os outros, por ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo. O objectivo será o de passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como auxiliar, de modo que um disco maior nunca fique por cima de outro menor em qualquer situação. O número de discos pode variar sendo o mais simples aquele que contém apenas três discos.

Pontos e Quadrados (Dots and Boxes)

Material
Papel ponteado formando uma superfície quadrada.
Dois lápis de cor diferente, um para cada jogador.



Objectivo
O objectivo deste jogo consiste em cada jogador formar o maior número de quadrados possíveis no ponteado.





Regras
Alternadamente, cada jogador une dois pontos vizinhos com um segmento horizontal ou vertical.
Quando um jogador completa um quadrado, escreve a sua inicial no interior desse quadrado e joga outra vez.
O jogador não é obrigado a fechar um quadrado.
O jogador que fecha um quadrado continua a jogar.

Jogos com números

JOGO DAS SOMAS
Colocam-se os números de 1 a 9 de modo que cada número da fila superior seja a soma dos números da fila debaixo daquela em que se apoia.









NÚMEROS SALTEADOS
Colocam-se oito fichas numeradas de 1 a 8 no tabuleiro de modo a que não fiquem números seguidos:
- na horizontal
- na vertical
- na diagonal
quer por ordem crescente quer por ordem decrescente.

Um problema de números

NÚMEROS






Equipa A --> 19 pontos
Equipa B --> ?
Equipa C --> ?
Equipa D --> ?
Equipa E --> ?

Determine a pontuação alcançada por cada uma das quatro restantes equipas , sendo sugeridas as seguintes pistas:
- a soma das 5 pontuações é de 83 pontos;
- nenhuma equipa chegou aos 20 pontos:
- as equipas C e D têm igual pontuação;
- todas elas fizeram acima de 12 pontos;
- a diferença entre a mais pontuada e a que ficou em último lugar é de 5 pontos;
- apenas duas das pontuações são pares.
(Para ajudar a resolução já está assinalada a pontuação da Equipa A)

Origamis

ORIGAMI (do japonês: 折り紙, de oru, "dobrar", e kami, "papel") é a arte tradicional japonesa de dobrar o papel, criando representações de determinados seres ou objetos com as dobras geométricas de uma peça de papel, sem cortá-la ou colá-la.

O origami usa apenas um pequeno número de dobras diferentes, que no entanto podem ser combinadas de diversas maneiras, para formar desenhos complexos.







UM POUCO DE HISTÓRIA
Conforme se foram desenvolvendo métodos mais simples de criar papel, o papel foi-se tornando menos caro, e o origami, cada vez mais uma arte popular. Ainda assim as pessoas menos abastadas esforçavam-se em não desperdiçar: guardavam sempre todas as pequenas réstias de papel, e usavam-nas nos seus modelos de origami.

Durante séculos não existiram instruções para criar os modelos origami, pois eram transmitidas verbalmente de geração em geração. Esta forma de arte viria a tornar-se parte da herança cultural dos japoneses. Em 1797 foi publicado um livro (Hiden Senbazuru Orikata) contendo o primeiro conjunto de instruções origami para dobrar um pássaro sagrado do India. O origami tornou-se uma forma de arte muito popular, conforme indica uma impressão em madeira de 1819 intitulada "Um mágico transforma folhas em pássaros", que mostra pássaros a serem criados a partir de folhas de papel.

Em 1845 foi publicado outro livro (Kan no mado) que incluía uma colecção de aproximadamente 150 modelos origami. Este livro introduzia o modelo do sapo, muito conhecido nos dias de hoje. Com esta publicação, o origami espalha-se como actividade recreativa no Japão.

Não seriam apenas os Japoneses a dobrar o papel, mas também os Mouros, no Norte de África, que trouxeram a dobragem do papel para Espanha na sequência da invasão árabe no século VIII. Os mouros usavam a dobragem de papel para criar figuras geométricas, uma vez que a religião os proibia de criar formas animais. De Espanha espalhar-se-ia para a América do Sul. Com as rotas comerciais terrestres, o origami entra na Europa e, mais tarde, nos Estados Unidos.
(fonte: Wikipédia)

Animação sobre origamis

A Herança do Califa

Para dar um colorido mais oriental à nossa página de matematiquices deixamos-te um problema vindo de Bagdad. ANTIGO! Na época em que um ataque à bomba não era mais do que uma brilhante ideia de um pacato matemático.

O califa de Bagdad tinha quatro filhos de quem muito gostava.
Para cada um deles mandou construir um palácio. O do filho mais velho, Abdul, ficou no terreno 1, o de Budal, no terreno 2, o de Cadaf, no 3 e o de Dubal, no 4( ver no mapa).


Antes de morrer, fez o testamento com indicações de como deviam ser distribuídas as suas ricas terras. Cada filho ficaria com o terreno onde tinha o seu palácio.
Evidentemente, Abdul herdaria também o terreno 9, onde ficava situado o palácio do califa. Os restantes terrenos seriam distribuídos de modo que, no final, cada um ficasse com 5. Mas impôs uma condição a cada um dos filhos: os seus cinco terrenos não poderiam ter fronteiras comuns. Por exemplo, Cadaf não podia ficar com o terreno 19.
Como é que os irmãos dividiram as terras entre si?

Mais números curiosos

NÚMEROS GÉMEOS são os números primos cuja diferença entre eles é 2.

Por exemplo, 5 e 7 são primos gémeos pois são ambos primos e 7 - 5 = 2.



PRIMOS DE MERSENNE são os números primos que se podem expressar como N = 2^n -1, sendo n qualquer número e N um primo de Mersenne.

Escolha-se um número natural maior do que 1 e calcule-se a soma dos quadrados dos seus algarismos. Pegue-se no número encontrado e repita-se a operação, calculando a soma dos quadrados dos seus algarismos. Repetindo este processo sucessivamente, quando a seqüência calculada termina em 1, dizemos que o número submetido ao processo é um NÚMERO FELIZ.

caso contrário, ele designa-se por NÚMERO INFELIZ.

Por exemplo, pode-se verificar que o número 4.599 é feliz fazendo as seguintes contas: 4²+5²+9²+9²=203; 2²+0²+3²=13; 1²+3²=10; 1²+0²=1.

Números primos. O que são?

NÚMERO PRIMO é todo aquele que admite apenas dois divisores: o um e ele próprio.

O único número primo par é o 2.

O conjunto dos números primos é infinito.

Quando um número não é primo diz-se COMPOSTO.

O 1 não é número primo nem número composto.

Será 17 um número primo?
Ora. os divisores de 17 são apenas o 1 e o 17, logo ele é primo.

E relativamente ao 26 que podemos afirmar?
Os divisores de 26 são, além de 1 e 26, o 2 e o 13, daí não ser primo( também poderíamos dizer que , como 26 é par não é primo, uma vez que o único número par primo é o 2).















EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Considera o número de entrada deste prédio.

Será o número marcado na entrada do prédio um número primo?
Verifique...

Problema - a piscina

Uma piscina rectangular ocupa 2/15 de uma área de lazer de 300 m2. A parte restante da área de lazer equivale a quantos metros quadrados?

Jogos matemáticos- adição algébrica de números inteiros

Courtesy Cornwall Tube

Operações com números racionais

Números curiosos

CAPÍCUAS - números cuja disposição dos algarismos é simétrica, isto é, a sua leitura da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda é igual.

capícuas até 150--> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 22 33 44 55 66 77 88 99 111 121 131 141 ...




NÚMEROS DE KAPREKAR - números tal que, elevados ao quadrado,a soma das metades do número daí resultante vai coincidir com o número inicial.

45^2 = 2025 --> 20 + 25 = 45
mais alguns números de Krapekar: 1 297 703 2223 ...

NÚMEROS DIGITALIZADOS - números inteiros com algarismos que seguem as regras bastante precisas, usando para tal as operações aritméticas elementares e, ainda, as potências, a raíz quadrada, o factorial, a mudança de base, etc...

grande variedade destes números: os autodigitais, os antidigitais, os centigitais

NÚMERO CENTIGITAL - quando se exprime com a ajuda de números cuja soma dá 100

exemplos:
4 = 80:20
98 = 96 + raíz quadrada de 4
2 = 51 - 49
4 = 52 - 48
3 = 75:25 ou 3 = raíz quadrada de (90:10)




Dois números inteiros são AMIGOS quando cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro (os divisores do número à excepção do próprio número).

Por exemplo, 220 e 284 são números amigos.
Os divisores próprios de 220 são: 1, 2, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 248:

1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 248

Os divisores próprios de 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142, cuja soma é 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Estes dois números, 220 e 284, é o par de números amigos, com números mais pequenos que se conhece.

A descoberta dos números amigos, em particular de 220 e 280, é atribuída à escola Pitagórica (séc. V a.C.), pelo filosofo Iamblichus de Chalcis (c. 250-330). Para os Pitagóricos os números amigos simbolizavam a harmonia mútua, a amizade perfeita e o amor.
Alguns consideram a referência bíblica ao número 220 (um presente de 220 cabras de Jacob a Esau, Genesis 23:14) como indicadora de um conhecimento dos números amigos.
Os números amigos aparecem várias vezes na literatura árabe, para estes têm, igualmente, um papel na magia e na astrologia, na construção de horóscopos, na bruxaria, na preparação de poções mágicas e na construção de talismãs.
Na história do árabe Ibn Khaldun (1332-1406) lê-se, o seguinte, sobre o números amigos:

"...a prática da arte dos talismãs também nos fez reconhecer a virtudes maravilhosas dos números amigos. Estes números são 220 e 284. Chamamos-lhes amigáveis porque a parte alíquota de um deles quando adicionada dá uma soma igual ao outro. As pessoas que se ocupam, dos talismãs afirmam que estes números têm uma influência particular no estabelecimento da união e da amizade entre duas pessoas. ... em cada um deve-se inscrever um dos números indicados, mas atribuindo o mais forte à pessoa cuja amizade se quer ganhar, a pessoa amada. Eu não sei se pelo mais forte se quer designar o maior, ou o que tem um maior número de partes alíquotas."

NÚMERO PERFEITO é um número natural cuja soma dos seus divisores próprios é igual a si mesmo.

O primeiro número perfeito é o 6, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2 e 3, a soma destes é 6 (6 = 1 + 2 + 3).

Os cinco primeiros números perfeitos são: 6, 28, 496, 8128 e 33 550 336.

Chama-se NÚMERO ABUNDANTE a um número natural em que a soma dos seus divisores próprios é superior a ele mesmo.

O primeiro número abundante é o 12, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2, 3, 4 e 6, a soma destes é 16 (1 + 2 + 3 + 4 + 6 > 12).



Chama-se NÚMERO DEFICIENTE a um número natural em que a soma dos seus divisores próprios é inferior a ele próprio.

O número 10 é um número deficiente, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2 e 5 a soma destes é 8 (1 + 2 + 5 < 10).






Nota 1:

Todos os números primos são deficientes, assim como a maioria dos números compostos.


Nota 2:

A maioria dos números é deficiente. Em particular, todos os primos e potências de primos são deficientes.


Nota 3:

Todos os múltiplos de um número perfeito ou abundante são abundantes.


Nota 4:

Todos os divisores de um número perfeito ou deficiente são deficientes.


Nota 5:

A soma dos divisores das potências de 2 (exceptuando, claro, a própria potência) é igual a 2n-1, ou seja, difere do próprio número uma unidade, pelo que são chamados números quase perfeitos.


Nota 6:

Existe uma relação entre os números perfeitos e os números de Mersenne porque, se 2p-1 é um número primo então 2p-1 (2p-1) é um número perfeito.


Nota 7:

Até ao momento, ainda não se descobriu nenhum número perfeito ímpar, mas ainda não está provado que não existam.

Antigo sistema de unidades de peso e de medida

Viagem de um grupo de professores ao Museu Etnográfico do Barroso (Montalegre) e fotografias de uma exposição patente no Museu sobre os antigos sistemas de peso e medida e sua evolução ao longo do tempo.













Ver link (ANC - Associação Nacional de Cruzeiros):
http://www.ancruzeiros.pt/ancunidades.html

Origem dos números